逆拉普拉斯算符

泊松方程及其解

拉普拉斯算符$\Delta$是$n$维欧几里得空间中的一个二阶微分算符，定义为标量函数$f$的梯度的散度。

$$ \begin{equation} \label{eq:poisson-equation} \Delta \varphi = \nabla^2 \varphi = \nabla\cdot\nabla \varphi = f \end{equation} $$

物理中通常称为泊松方程，一般利用格林函数法求解。拉普拉斯算符对应的格林函数满足方程

$$ \begin{equation} \label{eq:green-function-for-laplacian-operator} \nabla^2 G(\bm{r},\bm{r^\prime}) = \delta(\bm{r}-\bm{r}^\prime) \end{equation} $$

方程$\eqref{eq:green-function-for-laplacian-operator}$的解为

$$ \begin{equation} G(\bm{r},\bm{r^\prime}) = - \frac{1}{4\pi} \frac{1}{\Abs{\bm{r}-\bm{r^\prime}}} \end{equation} $$

因此泊松方程的特解为

$$ \begin{equation} \label{eq:particular-solution-for-poisson-equation} \begin{aligned} \varphi_p(\bm{r}) &= \int G(\bm{r},\bm{r^\prime})f(\bm{r^\prime})d^3\bm{r^\prime} \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{f(\bm{r^\prime})}{\Abs{\bm{r}-\bm{r^\prime}}}d^3\bm{r^\prime} \end{aligned} \end{equation} $$

若源项$f(\bm{r})$在全空间积分为有限值，则

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \lim_{r\to\infty}\varphi_p(\bm{r})&=-\frac{1}{4\pi}\lim_{r\to\infty} \int\frac{f(\bm{r})}{\Abs{\bm{r-r^\prime}}} d^3\bm{r^\prime} \\ &=-\frac{1}{4\pi} \left(\lim_{r\to\infty}\frac{1}{r}\int f(\bm{r^\prime})d^3\bm{r^\prime} + \bigo\lrp{\frac{1}{r^2}} \right) \\ &=-\frac{1}{4\pi} \lrp{\lim_{r\to\infty}\frac{q}{r}+\bigo\lrp{\frac{1}{r^2}}} \\ &=0 \end{aligned} \end{equation} $$

因此精确的表述为，当泊松方程$\eqref{eq:poisson-equation}$的边界条件为：$\varphi(\bm{r})$在无穷远处为零时，解为$\varphi_p(\bm{r})$。当指定非零边界条件时，完整的解为

$$ \begin{equation} \varphi(\bm{r}) =\varphi_p(\bm{r})+\varphi_c(\bm{r}) \end{equation} $$

其中$\varphi_c(\bm{r})$为任意拉普拉斯方程（无源泊松方程）的解

$$ \begin{equation} \label{eq:solution-for-boundary-laplace-equation} \nabla^2\varphi_c(\bm{r}) = 0 \end{equation} $$

逆拉普拉斯算符

当源项$f(\bm{r})$在全空间积分收敛，即选取无穷远处为零的边界条件时，泊松方程的解为

$$ \begin{equation} \varphi(\bm{r})=\varphi_p(\bm{r}) \end{equation} $$

在上述前提条件下，定义逆拉普拉斯算符为$\Delta^{-1}$，将其作用于泊松方程$\eqref{eq:poisson-equation}$得到

$$ \begin{equation} \Delta^{-1}\Delta\varphi(\bm{r})\equiv \varphi(\bm{r}) = \Delta^{-1}f(\bm{r}) \end{equation} $$

根据$\eqref{eq:particular-solution-for-poisson-equation}$可得

$$ \begin{equation} \boxed{ \Delta^{-1}f(\bm{r}) =-\frac{1}{4\pi}\int\frac{f(\bm{r^\prime})}{\Abs{\bm{r-r^\prime}}}d^3\bm{r^\prime}} \end{equation} $$

容易验证

$$ \begin{equation} \Delta^{-1}\Delta f(\bm{r})=\Delta\Delta^{-1}f(\bm{r})=f(\bm{r}) \end{equation} $$

应用

利用逆拉普拉斯算符$\Delta^{-1}$，可以将矢量场$\bm{V}(\bm{r})$唯一分解为不相交的两部分

$$ \begin{equation} \bm{V}=\bm{V}_{\parallel} + \bm{V}_{\bot},\qquad \text{其中}\ \nabla\cdot \bm{V}_{\bot}=\nabla\times \bm{V}_{\parallel}=0 \end{equation} $$

直接构造

$$ \begin{equation} \label{eq:longitudinal} \bm{V}_{\parallel}=\nabla\Delta^{-1}\nabla\cdot \bm{V} \end{equation} $$

观察到$\psi\equiv\Delta^{-1}\nabla\cdot \bm{V}$ 是一个标量场，因此 $\bm{V}\times \bm{V}_{\parallel}=\bm{V}\times\nabla\psi=0$ 。横向部分为

$$ \begin{equation} \bm{V}_{\bot}=\bm{V}-\bm{V}_{\parallel}=\bm{V}-\nabla\Delta^{-1}\nabla\cdot \bm{V} \end{equation} $$

可以验证

$$ \begin{equation} \nabla\cdot \bm{V}_{\bot}=\nabla\cdot\lrb{\bm{V}-\nabla\Delta^{-1}\nabla\cdot \bm{V}} =\nabla\cdot \bm{V}-\Delta\Delta^{-1}\lrp{\nabla\cdot \bm{V}} =\nabla\cdot \bm{V}-\nabla\cdot \bm{V}=0 \end{equation} $$

与$\bm{V}_{\parallel}$一样，$\bm{V}_{\bot}$也存在类似的表达式

$$ \begin{equation} \label{eq:transverse} \bm{V}_{\bot}=-\nabla\times\Delta^{-1}\lrp{\nabla\times \bm{V}} \end{equation} $$

为了证明$\eqref{eq:transverse}$成立，首先引入两个等式，不过省略证明。

$$ \begin{aligned} &\nabla\times\Delta^{-1}\lrp{\bm{A}}=\Delta^{-1}\lrp{\nabla\times \bm{A}}\\ &\nabla\Delta^{-1}\lrp{\psi}=\Delta^{-1}\lrp{\nabla\psi} \end{aligned} $$

于是

$$ \begin{aligned} \bm{V}_{\bot}&=-\nabla\times\Delta^{-1}\lrp{\nabla\times\bm{V}}\\ &=-\Delta^{-1}\lrb{\nabla\times\lrp{\nabla\times\bm{V}}} \\ &=\Delta^{-1}\lrb{\Delta\bm{V}-\nabla\lrp{\nabla\cdot\bm{V}}}\\ &=\bm{V}-\Delta^{-1}\nabla\lrp{\nabla\cdot\bm{V}}\\ &=\bm{V}-\nabla\Delta^{-1}\lrp{\nabla\cdot\bm{V}} \\ &=\bm{V}-\bm{V}_{\parallel} \end{aligned} $$

以上说明了分解的存在性，接下来说明该分解具有唯一性，并且只需说明纵向部分具有唯一性即可。 对矢量$\bm{V}$取散度，得到关于标量场$\psi$的泊松方程

$$ \begin{equation} \nabla\cdot \bm{V} = \nabla\cdot\bm{V_{\parallel}} = \Delta \psi \end{equation} $$

由于泊松方程具有唯一解，因而矢量分解也具有唯一性。