阻尼振动

参考

• 以弹簧为模型讨论，当考虑空气阻力时，运动方程为

  $$ ma = -kx - bv $$

  阻尼系数$b$可以随时间变化

• 阻尼振动的结果

  • 振动为周期运动，周期由劲度系数$k$和阻尼系数$b$共同决定

    $$ \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\rightarrow \omega_N = \sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{\gamma^2}{4}} $$

  • 振幅随时间减小

    $$ A \rightarrow A_N = Ae^{-\gamma t / 2} $$

• 图像表示

  

定量分析

运动方程可以改写为

$$ \dfrac{d^2x}{dt^2} + \gamma\dfrac{dx}{dt} + \omega^2x = 0， \gamma=\dfrac{b}{m}\text{和}\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} $$

考虑同形式的复数方程

$$ \dfrac{d^2Z}{dt^2} + \gamma\dfrac{dZ}{dt} + \omega^2Z = 0 $$

$Z$ 的实数部分即为阻尼方程的解。令$Z = Ce^{At}$，$A$和$C$为复常数，代入上式得到$A$的方程

$$ A^2 + \gamma A + \omega^2 = 0 $$

对应的解为

$$ A=-\gamma/2\pm i\sqrt{\omega^2-\dfrac{\gamma^2}{4}} $$

假设阻力不大，即$\omega\gt\gamma/2$。

由$Z$的通解

$$ Z=e^{-\gamma t/2}(C_1e^{+i\omega_N t} + C_2e^{-i\omega_N t}) $$

得阻尼方程的解为

$$ x = Re(Z) = e^{-\gamma t/2}[D\cos(\omega_N t) - E\sin(\omega_N t)] $$

$D$ 和 $E$ 为常数。

令初始相位为$\theta_0=\tan^{-1}(\dfrac{D}{E})$，$L=\sqrt{D^2-E^2}$，$x$可以化简为

$$ x = Le^{-\gamma t/2}\cos(\omega_N t + \theta_0) $$