# 阻尼振动


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[参考](http://www2.hkedcity.net/sch_files/a/fms/fms-physics/public_html/resource/pdf/a8-damping.pdf)

- 以弹簧为模型讨论，当考虑空气阻力时，运动方程为
  $$
    ma = -kx - bv
  $$
  阻尼系数$b$可以随时间变化

- 阻尼振动的结果
  - 振动为周期运动，周期由劲度系数$k$和阻尼系数$b$共同决定
    $$
    \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\rightarrow \omega_N = \sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{\gamma^2}{4}}
    $$

  - 振幅随时间减小
    $$
    A \rightarrow A_N = Ae^{-\gamma t / 2}
    $$

- 图像表示

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## 定量分析

运动方程可以改写为

  $$
  \dfrac{d^2x}{dt^2} + \gamma\dfrac{dx}{dt} + \omega^2x = 0，
  \gamma=\dfrac{b}{m}\text{和}\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}
  $$

考虑同形式的复数方程
  $$
  \dfrac{d^2Z}{dt^2} + \gamma\dfrac{dZ}{dt} + \omega^2Z = 0
  $$
$Z$ 的实数部分即为阻尼方程的解。令$Z = Ce^{At}$，$A$和$C$为复常数，代入上式得到$A$的方程

$$
A^2 + \gamma A + \omega^2 = 0
$$

对应的解为
$$
A=-\gamma/2\pm i\sqrt{\omega^2-\dfrac{\gamma^2}{4}}
$$
假设阻力不大，即$\omega\gt\gamma/2$。

由$Z$的通解
$$
Z=e^{-\gamma t/2}(C_1e^{+i\omega_N t} + C_2e^{-i\omega_N t})
$$
得阻尼方程的解为
$$
x = Re(Z) = e^{-\gamma t/2}[D\cos(\omega_N t) - E\sin(\omega_N t)]
$$
$D$ 和 $E$ 为常数。

令初始相位为$\theta_0=\tan^{-1}(\dfrac{D}{E})$，$L=\sqrt{D^2-E^2}$，$x$可以化简为

$$
x = Le^{-\gamma t/2}\cos(\omega_N t + \theta_0)
$$


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> 作者: Colin  
> URL: http://hugo.spiedeman.top/posts/physics/oscillation/