矢量函数分解

任意给定一个矢量函数 $w(\boldsymbol{x})=(w_1(\boldsymbol{x}),w_2(\boldsymbol{x}),w_3(\boldsymbol{x}))$。在傅立叶空间中，$\boldsymbol{k}$模式的系数$w(\boldsymbol{k})=(w_1(\boldsymbol{k}),w_2(\boldsymbol{k}),w_3(\boldsymbol{k}))$ 可以分解为动量$k$的平行和垂直方向。

$$ w = w^{\parallel} + w^{\bot} $$

且有 $w^{\parallel} // \boldsymbol{k}$ 及 $w^{\bot}\cdot{\boldsymbol{k}} = 0$

回到实空间中，发现 $w(\boldsymbol{x})$ 可以分解为纵向和横向两部分，$w^{\parallel}(\boldsymbol{x})$ 和 $w^{\bot}(\boldsymbol{x})$。分别有如下性质：

• 纵向无旋

$$ \nabla \times w^{\parallel}(\boldsymbol{x}) = 0 $$

• 横向无源

$$ \nabla \cdot w^{\bot}(\boldsymbol{x}) = 0 $$

投影算符

傅立叶空间中，$\boldsymbol{k}$ 模的纵向（横向）投影算符分别为

$$ \begin{aligned} P^{\parallel}(\boldsymbol{k}) &= \boldsymbol{\hat{k}}\otimes\boldsymbol{\hat{k}} \\ P^{\perp}(\boldsymbol{k}) &= 1 - \boldsymbol{\hat{k}}\otimes\boldsymbol{\hat{k}} \\ \end{aligned} $$

或者分量表示

$$ \begin{aligned} P^{\parallel}_{ij}(\boldsymbol{k}) &= \boldsymbol{\hat{k}}_i\boldsymbol{\hat{k}}_j \\ P^{\perp}_{ij}(\boldsymbol{k}) &= \delta_{ij} - \boldsymbol{\hat{k}}_i\boldsymbol{\hat{k}}_j \\ \end{aligned} $$